ⓘ דעריוואטיוו. א דעריוואַטיוו פון אַ פֿונקציע איז דער באַרגנייג אויף דער באַריר־לינע בײַ א פֿונקט. א דעריוואַטיוו באַשרייבט די וואַקסיקייט פון אַ פֿונקציע. דער הי ..

                                     

ⓘ דעריוואטיוו

א דעריוואַטיוו פון אַ פֿונקציע איז דער באַרגנייג אויף דער באַריר־לינע בײַ א פֿונקט. א דעריוואַטיוו באַשרייבט די וואַקסיקייט פון אַ פֿונקציע. דער היפּוך פֿון א דעריוואַטיוו איז אַן אינטעגראל. דער דעריוואַטיוו ווערט געפֿונען געוויינטלעך אין מאַטעמאַטיק און פֿיזיק.

אין פֿיזיק, דער דעריוואַטיוו פֿון פּאָזיציע איז גיכקייט, און דער דעריוואַטיוו פֿון גיכקייט איז פֿאַרגיכערונג.

                                     

1. דעפֿיניציע

דערמאַנט זיך אַז די פֿונקציע פאַר אַ גראָדער ליניע איז y x = a x + b {\displaystyle yx=ax+b}. דער וואַריאבל a {\displaystyle a} איז דער באַרגנייג פון דער לינע, ד"ה ווען x 1 ≠ x 2 {\displaystyle x_{1}\neq x_{2}}:

a = y x 2 − y x 1 x 2 − x 1 = Δ y Δ x {\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {yx_{2}-yx_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\\&={\frac {\Delta y}{\Delta x}}\end{aligned}}}

דעריבער א שנײַדלינע secant וואָס שנײַדט זיך איבער א פֿונקצע f x {\displaystyle fx} בײַ x = x 1 {\displaystyle x=x_{1}} און x = x 2 {\displaystyle x=x_{2}} האָט דעם באַרגנייג

a x 1, x 2 = f x 2 − f x 1 x 2 − x 1 {\displaystyle {\begin{aligned}ax_{1},x_{2}&={\frac {fx_{2}-fx_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\end{aligned}}}

ווען x 1, x 2 {\displaystyle x_{1},x_{2}} זענעך נאָענט איז a x 1, x 2 {\displaystyle ax_{1},x_{2}} בערך דער באַרגנייג אויף דער באַריר־לינע. באַניצנדיק קאַלקולוס קענען מיר ניצן א גרעניץ כּדי גורם זײַן x 2 → x 1 {\displaystyle x_{2}\to x_{1}}. בכן איז a = a x 1 {\displaystyle a=ax_{1}} אַן איינבאַטרעפֿיקע פֿונקציע. מרופֿט a x {\displaystyle ax} דעם דעריוואַטיוו פֿון f x {\displaystyle fx}.

דער דעריוואַטיוו ווערט אָנגעשריבן אין מאַטעמאַטישער נאָטאַציע ווי f ′ x {\displaystyle fx} צי d x f x {\displaystyle {\frac {d}{dx}}fx}. טאָ מע שרײַבט:

f ′ x = lim x 2 → x f x − f x 2 x − x 2 = lim h → 0 f x + h − f x h {\displaystyle {\begin{aligned}fx&=\lim _{x_{2}\to x}{\frac {fx-fx_{2}}{x-x_{2}}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {fx+h-fx}{h}}\end{aligned}}}

די לעצטע שורה ניצט דעם אונטערשטעל x − x 2 = h {\displaystyle x-x_{2}=h}.

                                     

2. דעריוואַטיוו טעאָרעמען

פאַראַן כּלערליי כּללים וואָס העלפֿן אונדז צו געפֿינען דעם דעריוואַטיוו.

כּפֿלען מיט א שטענדיקער גרייס

אויב מיר ווילן דיפֿערענצירן א פֿונקציע מאָל אַ שטענדיקע גרייס:

d x c f x) = c f ′ x {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}cfx)=cfx\end{aligned}}}

סך־הכּל־כּלל

אויב מיר ווילן דיפֿערענצירן א פֿונקציע פּלוס אַ פֿונקציע ניצט מען דעם סך־הכּל־כּלל:

d x f x + g x) = f ′ x + g ′ x {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\leftfx+gx\right)=fx+gx\end{aligned}}}

קייט־כּלל

אויב מיר ווילן דיפערענצירן א פֿונקציע פֿון א פֿונקציע ניצט מען דעם קייט־כּלל:

d x f g x) = f ′ g x) g ′ x {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}fgx)=fgx)gx\end{aligned}}}

פּראָדוקט־כּלל

אויב מיר ווילן דיפערענצירן אַ פראָדוקט פֿון צוויי פֿונקציעס ניצט מען דעם פּראָדוקט־כּלל:

d x f x g x = f ′ x g x + g ′ x f x {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}fxgx=fxgx+gxfx\end{aligned}}}
                                     

3.1. בײַשפּילן קוואַדראַטישע פֿונקציע

בדרך משל לאָמיר דיפערענצירן א פראָסטע פֿונקציע f x = x 2 {\displaystyle fx=x^{2}} קוואַדראַטישע פֿונקציע ניצנדיק דער דעפֿיניציע

d x 2 = lim h → 0 x + h 2 − x 2 h = lim h → 0 x 2 + 2 x h + h 2 − x 2 h = lim h → 0 2 x h + h 2 h = lim h → 0 2 x + h = 2 x {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}x^{2}&=\lim _{h\to 0}{\frac {x+h^{2}-x^{2}}{h}}\\\ &=\lim _{h\to 0}{\frac {x^{2}+2xh+h^{2}-x^{2}}{h}}\\\ &=\lim _{h\to 0}{\frac {2xh+h^{2}}{h}}\\\ &=\lim _{h\to 0}2x+h\\\ &=2x\end{aligned}}}

אָדער זינט d x = 1 {\displaystyle {\frac {d}{dx}}x=1} זעט "דעפֿיניציע" אין דער הייך, פּראָדוקט־כּלל באַווייזט

d x 2 = d x ⋅ x = d x + x d x = 1 x + x 1 = 2 x {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}x^{2}&={\frac {d}{dx}}x\cdot x\\\ &=\left{\frac {d}{dx}}x\rightx+x\left{\frac {d}{dx}}x\right\\\ &=1x+x1\\\ &=2x\\\end{aligned}}}
                                     

3.2. בײַשפּילן קוואַדראַט־וואָרצל

d x = lim h → 0 x + h − x h = lim h → 0 x + h − x h ⋅ x + h + x + h + x = lim h → 0 x + h − x h x + h + x = lim h → 0 1 x + h + x = 1 2 x {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}{\sqrt {x}}&=\lim _{h\to 0}{\frac
                                     
  • אוראלטער אינדיע, גריכנלאנד, מיטל - אלטער אייראפע און דעם מיטל מזרח. דער דעריוואטיוו פון א פונקציע f x אין דער פארעם cxn איז ncxn - 1. צום ביישפיל די דיפערענציאל